Лотереи проводимые правительством подобно Лото Штата Техас или Лото Плюс в Лихтенштейне использует механизмы перемешивания и выбрасывают шарики, стремясь обеспечить их совершенно случайное появление. Под "совершенно случайным" я подразумеваю просто то, что каждый шарик в полном наборе шариков, может быть равновероятно выбран в любом тираже. Это является выборкой функции равномерного распределения. Если фактически машина достигает такой степени объективной совершенной рандомизации, то использование функции RAND (50) для Лото Штата Техас или RAND (40) для Лото Плюс - столь же хороший путь как и любой другой, для выбора чисел для ваших билетов. Подобная процедура аналогична тому, чтобы купить билет "Быстрого выбора"( "Quick Pick") ; то есть билет, составленный из чисел, которые выбраны наугад для Вас компьютером фирмы - распространителя лотереи. Фу! Это разве доставляет удовольствие? Хорошо еще, если Вы сорвали куш в 20 миллионов долларов. Но если Вы проиграете, где - удовлетворение? Где ощущение управления вашей собственной судьбой?
Так что большое количество людей, непосредственно играющих, предпочитает выбирать числа собственноручно. Тогда, если Вы выиграете, Вы можете сказать, " я отметил тот билет самостоятельно, " и если Вы проиграете Вы по крайней мере, утешитесь осознанием того, что Вы пробовали. Так как люди выбирают числа в Лото? Имеются два базовых метода: (1) интуиция, астрология, любимые дни и даты, возрасты внуков, и так далее, или (2) некоторой формы анализа истории выпавших чисел.
Здесь я намереваюсь обсудить процедуру , которую использую для выбора моих собственных билетов Лото. Я называю ее рациональное желаемое мышление.
Я использую случайные равномерные числа, чтобы выбрать по функции распределения, связанной с предшествующей историей игры. Хорошо бы быть тем, кто проектировал механизм, который выбирает шарики. Но даже тогда, потому что регулирующие законы физики более вероятностные чем детерминированные, Вы будете только иметь преимущество, но не будете уверенным. Если бы Вы были величайшим математиком из всех, кто когда-либо жил, Вы были бы неспособны предсказать с уверенностью те 6 шариков, которые выпадут из машины в данный тираж.
Все же было бы неплохо иметь некоторое преимущество, пусть даже небольшое. Это - то, почему много игроков в Лото посвящают уйму времени изучению истории тиражей. Они ищут тенденции, или для "горячих " чисел, или для чисел, которые, как они думают, "должны" быть выбраны: что - нибудь, что могло бы повысить их шансы на победу. Они знают, что машина не может быть столь совершенна, чтобы выбрасывать шарики полностью случайным способом. Так что они пробуют предугадать по хронологии тиражей свойства механизма, который выбрасывает шарики. Мы не имеем схемы машины, но мы располагаем хронологией ее деятельности.
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ВЫБОРКИ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ К ЧАСТОТЕ
Здесь приведены частоты, относительные частоты, и накопительные относительные частоты для игры " 6 из 40 ", называемой Лото Плюс, для 63 еженедельных тиражей, которые состоялись включительно по пятницу, 10 января, 1997. Всего выло выбрано 378 шариков ,по 6 в неделю.
_N_ _F_ _RF_ _CRF_ 1 15 0.0397 0.0397 2 10 0.0265 0.0662 3 11 0.0291 0.0953 4 11 0.0291 0.1244 5 11 0.0291 0.1535 6 5 0.0132 0.1667 7 8 0.0212 0.1879 8 6 0.0159 0.2038 9 4 0.0106 0.2144 10 8 0.0212 0.2356 11 10 0.0265 0.2621 12 12 0.0317 0.2938 13 11 0.0291 0.3229 14 16 0.0423 0.3652 15 11 0.0291 0.3943 16 7 0.0185 0.4128 17 12 0.0317 0.4445 18 9 0.0238 0.4683 19 5 0.0132 0.4815 20 9 0.0238 0.5053 21 10 0.0265 0.5318 22 9 0.0238 0.5556 23 4 0.0106 0.5662 24 8 0.0212 0.5874 25 12 0.0317 0.6191 26 12 0.0317 0.6508 27 8 0.0212 0.6720 28 11 0.0291 0.7011 29 7 0.0185 0.7196 30 11 0.0291 0.7487 31 9 0.0238 0.7725 32 6 0.0159 0.7884 33 7 0.0185 0.8069 34 6 0.0159 0.8228 35 11 0.0291 0.8519 36 8 0.0212 0.8731 37 16 0.0423 0.9154 38 13 0.0344 0.9498 39 5 0.0132 0.9630 40 _14_ 0.0370 1.0000 Total: 378 Сейчас я проиллюстрирую, насколько просто можно использовать RAND () функцию вашей электронной таблицы, чтобы выбрать по функции предшествующего распределения номера для лотереи Лото Плюс. Эта процедура выберет числа наугад, но с вероятностью , равной относительной частоте, или, что эквивалентно, вероятность отбора будет прямо пропорциональна к частоте встречаемости номера в предшествующих тиражах. Перед выбором шести случайных равномерных чисел с использованием функции RAND (), я повторю простое правило, которое упомянул в конце предыдущей статьи.
Правило. Используйте функцию RAND () чтобы выбрать случайное равномернораспределенное число, назовем его R. Если R попадает между двумя значениями в столбце CRF, выбирают из столбца N такой номер, который соответствует наибольшему из двух значений, между которыми попало R. Если R равняется одному из значений в столбце CRF , выбирают из столбца N соответствующий номер.
Теперь я перехожу к своей электронной таблице и выбираю шесть 4-значных случайных равномерных чисел. Вот они:
0.2141___0.2963___0.9197___0.6417___0.5223___0.4543
Используя вышеприведенное правило, видим, что 0.2141 попадает между 0.2038 и 0.2144, первый выбранный номер Лото - 9, так как 0.2963 попадает между 0.2938 и 0.3229, следующий выбранный номер Лото - 13, и так далее. Случайные равномерные числа и соответствующие им выбранные номера Лото приведены в следующей таблице.
_Uniform Number__Lotto Number_ 0.2141 9 0.2963 13 0.9197 38 0.6417 26 0.5223 21 0.4543 18 Итак мы сформировали билет Лото, состоящий из шести номеров с вероятностями, прямо пропорциональными к частотам выпадения в предыдущих тиражах : 9, 13, 18, 21, 26, 38. Если мы хотим получить другой билет, мы только используем RAND () чтобы выбрать еще шесть случайных равномерных чисел и выполняем процедуру, описанную выше. А что, если мы получим два случайных равномерных числа, которые соответствуют одному и тому же номеру билета? Да просто выберите другое случайное равномерное число. Так мы продолжаем выбирать с вероятностью пропорциональной частоте.
Специальное отступление: сегодня, 8 августа, 1997, Лото Плюс заменил свою старую игру " 6 из 40 " на две новых игры: Mega Bucks , " 6 из 49 " - игра с гарантированным призом 2,000,000 Швейцарских франков, и Big Easy, " 6 из 25 " игра, где приз зависит от числа проданных билетов. Так что я оказываюсь перед необходимостью выбросить мои данные из электронной таблицы для старой игры и начинаю собирать данные по новым играм. Ох , вот только для этого потребуется приблизительно девять месяцев, чтобы накопить достаточно данных для формирования приемлемо надежных электронных таблиц. Лото Плюс быстро получает популярность в Сети, и я думаю, что они будут еще функционировать, когда я почувствую подготовленность завладеть одним из их джекпотов.
Я смотрю на это так: я имею билет , скажем, с номерами 9, 13, 18, 21, 26. Если тираж полностью зависит от равномерного распределения, где все возможные билеты были бы равновероятны, то мой билет имеет столь же хороший шанс победы как любой другой билет. Если, однако, машина случайным образом выбирает номера с функцией распределения, подобной той, что я использовал для выбора моего билета, то мои шансы на победу, возможно, будут слегка увеличены. Так что я полагаю, что я не делаю хуже чем если бы использовал полностью случайную выборку, наоборот, я делаю это лучше.
И кроме того все это доставляет мне удовольствие от игры. Я люблю чувство управления, которое я имею, когда рационально выбираю мои собственные билеты. Я создал одностраничную электронную таблицу, которая автоматизирует вычисления для меня. Для Лото Штата Техас я использую функцию распределения, которая содержит историю самых последних 100 тиражей. Я просто изменяю 12 ячеек таблицы после получения текущего тиража, для шести номеров, которые были в 100-м предшествующем тираже уменьшаю значения частот на 1, а для шести номеров текущего тиража увеличиваю частоты на 1. Тогда один щелчок на кнопке " Вычислить немедленно " , тут же выбирает 10 билетов лото, основанные на текущем распределении.
Я могу также использовать эту электронную таблицу как основание для имитационных экспериментов, где я могу исследовать процесс генерации билетов, оценивая (без фактической покупки билетов) эту стратегию относительно основанной на полностью случайной выборке. Я наслаждаюсь этим. Это - замечательный способ провести время, если я утомился просмотром Сети.
СЛУЧАЙНАЯ ВЫБОРКА
Повторно обратимся к простой лотерее " 1 из 5 " из предыдущей статьи и информации, согласно которой номера 1, 2, 3, 4, 5 выпадали в 20 тиражах с частотами 2, 2, 4, 8, 4. Для наглядного представления создадим таблицу, которая организовывает данные в удобной форме.
_N_ _F_ _RF_ _CRF_ 1 2 0.10 0.10 2 2 0.10 0.20 3 4 0.20 0.40 4 8 0.40 0.80 5 _4_ 0.20 1.00 Total:20 Каким образом могли бы Вы выбирать номера, чтобы вероятность выбора номера являлась прямо пропорциональной к его частоте встречаемости в хронологии (или, что эквивалентно, равна его относительной частоте)? Очень простой путь состоял бы в том, чтобы взять 10 костяшек из вашего Китайского набора Орнаментов, с помощью фломастера на одном из них нарисовать номер 1, на другом 2, на двух 3, на четырех 4, и на двух 5. Затем поместить их в кофейную банку, встряхнуть хорошенько, и вслепую извлекать костяшки.
Вероятность, с которой Вы бы выбрали костяшку с номером 4 составляет 0.40, вероятность, с которой Вы бы выбрали костяшку с номером составляет 0.10, и так далее. Каждый выбор костяшки (перед следующим выбором извлеченная костяшка должна быть возвращена в банку, а та встряхнута) происходит случайным образом с вероятностью, соответствующей выбранной относительной частоте, с которой номер выпадал в течение предшествующих тиражей. Это - случайный, но взвешенный случайный отбор (вероятности - вес), с "горячими" номерами вес которых больше чем вес "холодных" номеров.
Другим путем Вы могли бы сделать ту же самую случайную выборку, используя случайные равномерные числа, и следующую функцию распределения. Наша функция распределения:
_N_ _CRF_ 1 0.10 2 0.20 3 0.40 4 0.80 5 1.00 Используйте RAND () чтобы выбрать одно двух-разрядное случайное равномерное число. Предположим, что это - число 0.34. Посмотрите на столбец CRF. Число 0.34 попало между 0.20 и 0.40, выберите номер 3 (Вы случайным образом выбрали 3 по функции распределения). Используйте RAND () чтобы выбрать другое случайное равномерное число. Предположим, на сей раз, что Вы получили 0.69. Так как 0.69 - между 0.40 и 0.80, то выберите номер 4. И так далее.
Что здесь происходит? Это очень просто. Так как RAND () выдает случайное равномерное число, то вероятность, что выпадет число от 0.20 до 0.40 - равняется 0.20 (0.40 минус 0.20), то есть это относительная частота выпадания номера 3 (смотри таблицу наверху страницы). Так мы интерпретируем выбор 0.34, число между 0.20 и 0.40, что аналогично случайному выбору номера 3. Аналогично наше случайное число 0.69, находящееся между 0.40 и 0.80, интерпретируется как случайным образом выбранный номер 4: относительная частота, соответствующая 4, 0.40, является тем же самым что и вероятность, с которой мы бы выбрали случайный равномерный номер между 0.40 и 0.80.
Этот процесс случайного отбора может быть автоматизирован (без необходимости осознавания) с помощью следующего простого правила.
Правило. Используйте функцию RAND () чтобы выбрать случайное равномернораспределенное число, назовем его R. Если R попадает между двумя значениями в столбце CRF, выбирают из столбца N такой номер, который соответствует наибольшему из двух значений, между которыми попало R. Если R равняется одному из значений в столбце CRF , выбирают из столбца N соответствующий номер.
Иллюстрация к правилу. Если R = 0.53, мы выбираем 4, потому что 0.53 - находится между 0.40 и 0.80, а 4 соответствует 0.80. Если R = 0.31, мы выбираем 3, потому что 0.31 - находится между 0.20 и 0.40, а 3 соответствует 0.40. Если R = 0.20, выберите 2. Если R = 0.80, выберите 4.
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ВЫБОРКИ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ К ЧАСТОТЕ
На этой странице Вы найдете интересную модификацию базисного понятия случайной выборки по функции распределения на основе предшествующих выпадений . Она подразумевает выборку с вероятностями, обратно пропорциональными к частотам. Предыдущая статья иллюстрировала процесс дискретизации, который уделяет внимание "горячим" числам: которые наиболее часто выпадали в прошлом. В этой статье речь пойдет о "холодных" числах: которые наименее часто выпадали в прошлом.
Механизм, лежащий в основе этого подхода немного сложен, хотя и нетруден для понимания. Так что я не буду надолго останавливаться на том, почему это работает.
Мы будем использовать тот же самый набор статистических данных частот Лото-Плюс, которые Вы видели прежде, но другие столбцы в таблице будут получены по-другому. Я настроил электронную таблицу для расчетов с точностью до 5 знаков после запятой. Записи в столбце с заголовком 1/F - это обратные величины частот: 1 к 15, 1 к 10, 1 к 11, и так далее. Это просто "рабочий столбец", предназначенный для вычисления полной суммы, которая и приведена внизу -4.79864. В следующем столбце с заголовком IRF расположены значения, соответствующие записям "1/F" поделенным каждый на 4.79864. Это число - коэффициент "нормализации", который преобразовывает числа столбца "1/F" к числам , подобно относительным частотам, которые составляют в сумме 1.00000. Название IRF здесь переводится как " обратная относительная частота", числа этого столбца, подобно относительным частотам, позволяют нам присвоить большую вероятность числу, которое встречается наименее часто. Наконец, записи в столбце с названием CIRF , обозначающим " накопительную обратную относительную частоту, " получены добавлением текущего значения в столбце IRF к предыдущему значению в столбце CIRF
_N_ _F_ _1/F_ _IRF_ _CIRF_ 1 15 0.06667 0.01389 0.01389 2 10 0.10000 0.02084 0.03473 3 11 0.09091 0.01894 0.05368 4 11 0.09091 0.01894 0.07262 5 11 0.09091 0.01894 0.09157 6 5 0.20000 0.04168 0.13324 7 8 0.12500 0.02605 0.15929 8 6 0.16667 0.03473 0.19403 9 4 0.25000 0.05210 0.24610 10 8 0.12500 0.02605 0.27217 11 10 0.10000 0.02084 0.29301 12 12 0.08333 0.01737 0.31038 13 11 0.09091 0.01894 0.32932 14 16 0.06250 0.01302 0.34235 15 11 0.09091 0.01894 0.36129 16 7 0.14286 0.02977 0.39106 17 12 0.08333 0.01737 0.40843 18 9 0.11111 0.02315 0.43158 19 5 0.20000 0.04168 0.47326 20 9 0.11111 0.02315 0.49642 21 10 0.10000 0.02084 0.51726 22 9 0.11111 0.02315 0.54041 23 4 0.25000 0.05210 0.59251 24 8 0.12500 0.02605 0.61856 25 12 0.08333 0.01737 0.63592 26 12 0.08333 0.01737 0.65329 27 8 0.12500 0.02605 0.67934 28 11 0.09091 0.01894 0.69828 29 7 0.14286 0.02977 0.72805 30 11 0.09091 0.01894 0.74700 31 9 0.11111 0.02315 0.77015 32 6 0.16667 0.03473 0.80489 33 7 0.14286 0.02977 0.83466 34 6 0.16667 0.03473 0.86939 35 11 0.09091 0.01894 0.88833 36 8 0.12500 0.02605 0.91438 37 16 0.06250 0.01302 0.92741 38 13 0.07692 0.01603 0.94344 39 5 0.20000 0.04168 0.98511 40 _14_ _0.07143_ 0.01489 1.00000 Total: 378 SUM=4.79864 Крайний левый столбец в таблице - конечно набор чисел от 1 до 40, в то время как столбец справа теперь становится столбцом " накопительной относительной частотой ", который мы используем для сравнения с числами, полученными с помощью RAND() функции. Эти два столбца образуют "эффективную" функцию распределения, которая позволит нам случайным образом отобрать числа с вероятностями, обратно пропорциональными к частоте. Для разъяснения посмотрим результат выбора чисел Лото с помощью этого нового распределения, используя те же самые случайные равномерные числа, которые мы использовали в предыдущей статье. Они были:
0.2141___0.2963___0.9197___0.6417___0.5223___0.4543
В табличной форме имеются случайные равномерные числа и числа , которые мы выбрали бы из нашей новой функции распределения, которая подчеркивает "холодные" числа.
_Uniform Number__Lotto Number_ 0.2141 9 0.2963 12 0.9197 37 0.6417 26 0.5223 22 0.4543 19 Здесь сравниваются два различных билета Лото, которые мы выбрали, сначала (см. предыдущую статью) билет с "горячими числами", затем билет с "холодными числами".
Прямо пропорциональная выборка: 9, 13, 18, 21, 26, 38
Обратно пропорциональная выборка: 9, 12, 19, 22, 26, 37
Поскольку Вы можете видеть, эти два билета очень похожи, но в то же время существенно отличаются с точки зрения билетов лотереи, в которой вы хотите угадать все 6 отмеченных чисел. Мы не должны удивляться тому, что шесть чисел, выбранные в этих двух билетах являются столь похожими, если помнить, что мы используем тот же самый набор случайных равномерных чисел для их выбора. Мы использовали две различных функции распределения- да, но прежде всего главный фактор, влияющий на отбор чисел - набор чисел, выданных нам RAND() функцией. Каждое из распределений было накопительным распределением, и одиночное число из RAND () функции должно дать числа по каждому распределению, которые, как ожидается, будут одинаковыми или же близкими друг к другу. Как бы я выбрал два билета Лото чтобы сорвать джекпот? Так, как я показал Вам выше. Я выбираю набор тех 6 случайных равномерных чисел, использующих RAND () функцию, затем формировал один билет прямо пропорциональным способом и другой билет обратно пропорциональным способом. А почему бы и нет? Это - забава, но это и хобби.
Комментариев нет:
Отправить комментарий